نظرية الالعاب(المصفوفات)

نظرية الألعاب Game theory هي نظرية تحاول بمساعدة الاحتمالات ومفاهيم رياضية أخرى أن تبني
نموذجاً رياضياً يمثل نشاطاً بشرياً: اقتصادياً أو عسكرياً أو سياسياً أو ترفيهياً
أو ما ماثل ذلك، ويتيح حل هذا النموذج اتخاذ أفضل قرار أو موقف تجاه ما يمثله.

واللعبة هنا هي مسألة تنافس أو صراع بين شخصين
على الأقل أو بين فئتين، تتعلق بمجال من مجالات النشاط الإنساني. يُدعى كل شخص
يدخل في اللعبة لاعباً، ويفترض في اللاعب الفطنة والذكاء وفهم قواعد اللعبة
وقوانينها، وقد يكون بحوزته معلومات كافية عن خطط خصمه كما في لعبة الشطرنج، وقد
لا يمتلك مثل هذه المعلومات كما في لعبة الورق (الشدة). وهدف كل لاعب الوصول إلى
أفضل ربح ممكن أو، على الأقل، أقل خسارة ممكنة. وقد يضطر اللاعب إلى القيام بتخمينات
وتقديرات ومراوغات أحياناً، أو اللجوء إلى حيل توصله إلى تحقيق ما يريد إن أحسن
الاختيار. ومن أهم فروع نظرية الألعاب، نظرية المباراة ونظرية الحيل.

نظرية المباراة

المباراة لعبة تقوم بين خصمين متنافسين (أ) و(ب)
يفترض في رغبات أحدهما واهتماماته أن تعاكس رغبات الثاني واهتماماته، كما يفترض في
ربح الأول أن يساوي خسارة الثاني، ويقال عن ذلك بإيجاز إنها لعبة ذات مجموع معدوم.
ولقد اصطلح على أن تمثل هذه اللعبة بمصفوفة تدعى
«مصفوفة اللعبة»، أو
مصفوفة ربح اللاعب أ. (أو مصفوفة خسارة اللاعب ب). إن عدد أسطر هذه المصفوفة يساوي
عدد خطط أحد اللاعبين، الذي يمكن أن يُدعى لاعب الأسطر، وعدد أعمدتها يساوي عدد
خطط اللاعب الآخر الذي يدعى لاعب الأعمدة.

أما عناصر هذه المصفوفة فهي أعداد حقيقية يمثل
كل منها ص _{س ع} ما يربحه اللاعب الأول أو ما يخسره (حسب إشارة العدد ص _س
ع) إذا قام باختيار الخطة الموافقة للسطر س ثم قام الآخر باختيار الخطة
الموافقة للعمود
«ع» أو العكس. فإذا كانت مجموعة خطط اللاعب أ هي: خ(أ)={أ₁،أ₂،...،أ_ن} ومجموعة خطط خصمه ب هي:
خ(ب)= {ب₁،ب₂،...ب_م} وكان أ هو لاعب الأعمدة
وكان ب هو لاعب الأسطر أمكن كتابة مصفوفة اللعبة على النحو:

وهكذا فإن كل لعبة تمثل بمصفوفة، ويمكن النظر
إلى أي مصفوفة على أنها تمثل لعبة من هذا النمط. وعلى سبيل المثال فان المصفوفة:

تمثل لعبة فيها ن=4، م=3. ولمعرفة كيف تجري
اللعبة، يفترض أن أ هو الذي بدأ باللعب ساعياً إلى الحصول على أعلى ربح ممكن، تجدر
ملاحظة ما يلي: لو اختار أ العمود الأول لاختار ب السطر الأول ولربح أ خمس ليرات
(مثلاً) ولو اختار أ العمود الثاني لاختار ب السطر الثالث ولخسر أ 12 ليرة، أما لو
اختار أ العمود الثالث لاختار ب السطر الثاني ولخسر أ ست ليرات، وأخيراً لو اختار
أ العمود الرابع لاختار ب السطر الثاني ولربح أ ليرة واحدة. ومن هذا يتضح أن أفضل
ما يفعله أ هو أن يلعب وفق الخطة الموافقة للعمود الأول، أو كما يقال عادة: إن
أحسن ما يفعله أ هو اختيار العمود الأول، وعندئذ يضمن ربحاً قدره خمس ليرات على
الأقل مهما كانت الخطة التي سيجابهه بها خصمه. وما على أ كي يصل إلى هذا القرار
سوى أن يستبدل بكل عمود أصغر عدد فيه فيحصل على الأعداد 5،-12،-6، 1، ثم يختار
أكبرها ص _{س1 ع1} وهو العدد 5 ثم يختار العمود الذي يبلغه هذا الهدف ع₁=1.
أما لو اضطر ب إلى بدء اللعب فهو سيسعى إلى الوصول إلى أقل خسارة ممكنة، وعليه في
سبيل ذلك أن يستبدل بكل سطر أكبر عدد فيه فيحصل على الأعداد 12،11،9 ثم يختار
أصغرها ص _{س2 ع2} وهو العدد 9 ثم يختار السطر الذي يبلغه هذا الهدف س₂=3.

مما سبق ينتج أنه إذا بدأ أ اللعبة فان أعلى ربح
يحصل عليه في جولة اللعب هذه هو:

5=ص_س1ع1=نع₁

³
ع ³
ن
(نص₁
³
س
³
_م(ص_س
_ع))

أما إذا بدأ ب اللعبة فإن أقل خسارة تصيبه في
هذه الجولة هي:

9=ص_س2ع2=نص₁

³
س ³
م
(نع₁
³
ع ³
_ن(ص_س
_ع))

ويبرهن في المصفوفة (1) أن ص _س1ع1
³
ص
_س2ع2
دائماً وهنا يلاحظ أن ص _س1ع1< ص _س2ع2في المصفوفة (2)، أما في المصفوفة

فإن
ص _س1ع1= ص _س2ع2=7، وقد وضعت هذه القيمة ضمن مربع صغير. تدعى
القيمة 7 قيمة اللعبة ويدعى المربع الذي تشغله هذه القيمة في مصفوفة اللعبة نقطة
استقرار اللعبة أو نقطة توازنها. وهنا يتضح أنه لو بدأ أي من اللاعبين اللعب
فسيختار السطر (العمود) الذي يوصله إلى نقطة التوازن. ويقال هنا إن اللاعبين
كليهما يسعيان إلى الاستقرار فيها، ويحاول كل خصم إخراج خصمه منها مستخدماً الحيلة
والحزر. وتبرز صعوبة الاختيار لدى الخصمين عندما تكون المعلومات المتوافرة لدى كل منهما
عن الآخر ناقصة.

ويلاحظ أنه إذا كان لمصفوفة اللعبة نقطة توازن
وحيدة فإن شوطاً واحداً (مرحلة واحدة) يمكن أن ينهيها. وتكرار الشوط (إعادته) يقود
إلى النتيجة نفسها، وهي ربح لـِ أ قيمته تساوي قيمة اللعبة، وخسارة لـ ِ ب تساوي
نظير قيمة اللعبة.

أما إذا لم يكن لمصفوفة اللعب نقطة توازن وحيدة
(أي ليس لها أي نقطة توازن أو لها أكثر من نقطة)، وإذا فُرض أن أ يريد أن يزيد
ربحه الذي تضمنه له طريقة اللعب السابق ذكرها، وأن ب يريد كذلك أن يخفف من خسارته،
وأن اللعبة تتضمن أشواطاً عدة وأن كل لاعب يتصرف كما يحلو له معتمداً على الحظ
والمصادفة إلى جانب الحيلة والحيطة والحزر فيختار أ مثلاً العمود د باحتمال قيمته
ق_د ويختار ب السطر ر باحتمال قيمته ك _ر، عندئذ يدعى

نظرية الالعاب(المصفوفات) 406-4

استراتيجية لـِ أ ويدعى ك=[ك₁،...ك_م] إستراتيجية لـِ ب،
ويكون احتمال أن يربح أ المقدار ص_رد هو ك _ر× ق _د
(بحسب قواعد الاحتمال). تدعى الدالة (التابع):

معدل ربح اللاعب أ، أو معدل خسارة اللاعب ب.

وتؤكد نظرية فون نيومان Von Neuman أن ثمة إستراتيجية ق* لـِ أ، وأخرى ك* لـ ِ ب، تدعى كل
منها إستراتيجية مثلى، بحيث يتحقق ما يلي:

ت(ق،ك^*)
³
ت(ق^*،ك^*)
³ ت(ق^*،ك)

أياً كانت الاستراتيجيتان ق، ك وتدعى القيمة ت(ق^*، ك^*)=هـ قيمة اللعبة.

ويقال عن استراتيجية ق للاعب أ إنها
"رائية" صرفة إذا كان

ق=]،

،...،1،...، ]=[ق₁،
ق₂،...،ق_ر،...،ق_ن]

أي إذا كان ق _ر=1، وكان ق _رَ=\ عندما يكون ر¹ رَ. كذلك يقال عن إستراتيجية ك للاعب ب إنها
«دالية»
صرفة إذا كان ك _د=1، ك _دَ=\ عندما يكون دَ¹ د. أما إذا كان\ >ق>
1 فإنه يقال: إن ق استراتيجية غير صرفة أو أنها استراتيجية مزيجة.

ويبرهن أنه إذا كانت مصفوفة اللعبة هي

وإذا لم يكن لهذه المصفوفة أي نقطة توازن فإن
الإستراتيجية المثلى ق^* للاعب أ هي:

وإن الإستراتيجية المثلى ك^* للاعب ب هي:

وتكون قيمة اللعبة هي:

فإذا أرادت وزارة الصحة، مثلاً، أن تقوم بتلقيح
مواطنيها لوقايتهم من فيروس معين، وإذا فرض أن لهذا الفيروس سلالتين، وأنه لا
يُعرف شيء عن النسب التي تظهر فيها هاتان السلالتان في الفيروس. وإذا فُرض أنه تم
الوصول إلى تلقيحين بتأثيرين مختلفين على السلالتين، وأن التلقيح الأول فعّال
بنسبة 85% للوقاية من السلالة الأولى و70% للوقاية من السلالة الثانية، وأن
التلقيح الثاني فعّال بنسبة 60% للوقاية من السلالة الأولى و90% للوقاية من
السلالة الثانية، فما هي سياسة التلقيح المثلى التي ينبغي على وزارة الصحة الأخذ
بها.

تمثل هذه المسألة مباراة، اللاعب أ فيها هو
وزارة الصحة واللاعب ب هو الفيروس. يرغب اللاعب أ في الحصول على أفضل ربح (أعلى
نسبة من المواطنين الممنعين للوقاية من الفيروس) ويرغب اللاعب ب أن يخفف من هذا
الربح إلى أقل ما يمكن. إن مصفوفة اللعب هي:

وليس لهذه المصفوفة أي نقطة توازن. لذا فإن
الاستراتيجية المثلى ق^* للاعب أ هي:

وأن الاستراتيجية المثلى للاعب ب هي:

وتكون قمة اللعبة هي

وهنا نلاحظ أن
الاستراتيجية المثلى لوزارة الصحة هي أن تلقح ثلثي المواطنين باللقاح الأول وأن
تلقح الثلث الباقي باللقاح الثاني. عندئذ يحصل 76.7% من المواطنين على مناعة
للوقاية من الفيروس بغض النظر عن توزع السلالتين فيه.

ومن جهة أخرى فإن الفيروس بنسبة نظرية الالعاب(المصفوفات) 406-14

من
السلالة الأولى و نظرية الالعاب(المصفوفات) 406-15

من السلالة الثانية بجعل نسبة المواطنين المقاومين له لا تتجاوز 76.7%
بغض النظر عن استراتيجية التلقيح التي تبنتها وزارة الصحة.

نظرية الحيل

يستخدم كل لاعب في المباراة الحيلة والحذر عندما
لا تكون لديه معلومات كافية عن خطط خصمه، ويسعى للتستر على نواياه، ولكشف نوايا
خصمه آملاً بالفوز. وهنا يشار إلى أنه يجب أن لا تستخدم الحيلة نفسها عدة مرات إذ
تصبح خطته مكشوفة للخصم، ويعود ضررها على من استخدمها. كذلك يتعين على اللاعب أن
يغير خطته أو خطط لعبه تبعاً لردود فعل الخصم، وعليه أن يراوغ في اختيار خطته وفق
ما يراه مناسباً. ومع ذلك قد يصعب عليه الفوز. وقد أورد أوسكار مورغنشترن Oscar
Morgenstern مثالاً لاختبارات عشوائية
لمواقف عشوائية وذلك باستخدامه مغامرة شرلوك هولمز Sherlock Holmes التالية: يهرب هولمز من شخص يتعقبه ليقتله هو موريارتي Moriarty، فيأخذ الأول قطاراً من لندن إلى مدينة "دوفر" على
الساحل المقابل لفرنسة، ويمر القطار، في طريقه بمدينة كانتربري، ويلمح هولمز، لسوء
حظه، حين صعوده إلى القطار أن متعقبه يسافر معه في الرحلة ذاتها فلو نزلا من
القطار معاً لعرض نفسه للهلاك. أما لو نزل هولمز في دوفر ونزل الآخر في كانتربري،
فإن هولمز ينجو، ويستقل بعدئذ باخرة إلى فرنسة. لكن إذا حدث أن نزل هو في كانتربري
ونزل خصمه في دوفر فإن هولمز سيخفق في الهرب. وينتج من هذا صعوبة الاختيار لدى
الخصمين لنقص المعلومات المتوافرة لدى كل منهما، ولذا فإن خطة كل منهما دفاعية
ويرتبط حلها بالمصادفة والحظ وواضح كذلك أن كلاً منهما يترقب صدور أقل هفوة من
صاحبه ليفاجئه بخطة هجومية قد تحقق له ما يريد. ويمكن أن تعطى هذه اللعبة الصيغة
الرياضية التالية، وذلك بإدخال احتمال الخيارات الممكنة لكل خصم. فلو فرضنا أن
احتمال نزول هولمز في دوفر هو ق واحتمال نزول خصمه في كانتربري هو ك فيكون،
وفقاً لقواعد الاحتمال، احتمال نجاح هولمز في الهرب يساوي ق×ك واحتمال
إخفاقه في الهرب دون أن يتعرض للقتل هو (1- ق) (1- ك) واحتمال تعرضه للقتل هو

(1-
ق) ك+ ق (1- ك) = ق + ك -2ق ك.

ولكن هذه الاحتمالات غير معروفة بدقة، بل هي
ظنّية. فلو عرف هولمز نفسه احتمال نزول خصمه في كانتربري لما كان اختياره
عشوائياً. وهنا يتصرف كل لاعب تبعاً لأفكاره التي يحملها عن خصمه ويلجأ إلى
التخمين والتقدير. فلو قدر هولمز أن ك صغيرة ربما اختار النزول في كانتربري
وآثر الاخفاق مع السلامة على ما سوى ذلك، أما لو قدر هولمز استناداً إلى معلومات
وصلت إليه بطريقة ما أنه إذا نزل في كانتربري، فالإخفاق محقق ومؤكد له. وإذا نزل
في دوفر فقد ينجح باحتمال قدره 90%، أو يفضل (وهذا راجع لتقديراته) أن يعرض نفسه
للموت بنسبة 10% مقابل تسع مرات نجاح في العشرة.

تطبيقات نظرية الألعاب في الاقتصاد

ظهرت أولى التطبيقات الاقتصادية لنظرية الألعاب
عام 1944 في كتاب عنوانه: نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي ألّفه مورغنشترن O.Horgenstern، وفون نيومان J.Von Neuman. وفي الواقع فإن مبدأ تطبيق نظرية الألعاب في الاقتصاد بسيط
نسبياً. فإذا أخذنا بالنظرية التقليدية في الاقتصاد فإن كل اقتصادي يسعى إلى بلوغ
النهاية العظمى أو النهاية الصغرى لتابع يدعى تابعاً اقتصادياً أو تابع الربح أو
تابع الكلفة أو ما ماثل ذلك. فمدير أي مشروع مثلاً يسعى للوصول إلى أكبر ربح
لمشروعه. فينظر في تابع الربح ويسعى إلى بلوغ نهايته العظمى، في حين يسعى أي
مستهلك لبلوغ النهاية الصغرى لتابع الكلفة. وتظهر أهمية نظرية الألعاب عند دراسة
المنافسات بين المؤسسات الاقتصادية التي يحاول كل منها اختيار القرار الأمثل.
ويمكن لتوضيح الفكرة إيراد المثال التالي: تتنافس مؤسستان اقتصاديتان على اقتسام
جمهور المستهلكين في سوق محلية فتقوم كل منهما بين الحين والآخر بحملة دعاية عن
طريق الصحف أو بالملصقات الجدارية. فإذا افترض أن مدير أولى المؤسستين توصل إلى ما
يلي: إذا قام بحملة الدعاية في الصحف (الاختيار أ₁) فإنه يحقق ربحاً
لمؤسسته قدره مئة ألف ليرة فيما لو اختار منافسه الدعاية في الصحف (الاختيار ب₁)،
ولكن ربحه سيكون صفراً لو اختار منافسه الدعاية بالملصقات الجدارية (الاختيار أ₂).أما
إذا قام بحملة الدعاية بالملصقات الجدارية (الاختيار ) فانه يخسر مئة ألف ليرة
سورية فيما لو اختار منافسه الدعاية في الصحف (الاختيار ب₁)، ولكن ربحه
سيكون مئتي ألف ليرة لو اختار منافسه الدعاية بالملصقات الجدارية (الاختيار ب₂).
فما هو القرار الأمثل لكل منهما:

يمكن تمثيل هذه المنافسة بمصفوفة ربح المؤسسة
الأولى (اللاعب الأول أ)

واستناداً إلى ما سبق تكون قيمة اللعبة هـ =50
ألفاً، وتكون الاستراتيجية المثلى لـِ أ هي

وتعني هذه النتيجة أن القرار الأمثل
للمؤسسة الأولى هو أن تصرف ثلاثة أرباع المبلغ المخصص لحملة الدعاية للدعاية
بالصحف والربع الباقي للدعاية بالملصقات. عندئذ تضمن ربحاً لا يقل عن خمسين ألفاً
مهما كانت الخطة التي ستتبناها المؤسسة الثانية (اللاعب ب). أما الاستراتيجية المثلى
لـِ ب

فهي والقرار الأمثل لها هو أن تصرف نصف المبلغ للدعاية في الصحف، والنصف
الآخر للدعاية بالملصقات الجدارية. عندئذ لن تتجاوز خسارة هذه المؤسسة خمسين ألفاً
مهما كانت الخطة التي ستنتهجها المؤسسة الأولى والدالة الاقتصادية التي تمثل ربح أ
هي:

ت(ق،ك)=ت(ق₁،ق₂،
ك₁،ك₂)=تا(س،ع)=400س
ع -300 ع-200س+200

بفرض أن ق₁=س، ق₂=1-س، ك₁=ع،
ك₂=1-ع.

والنقطة الحرجة لهذا التابع هي

نظرية الالعاب(المصفوفات) 406-19

» نظرية الاوتار احدث نظرية عـن الكون
» كتاب نظريات ومسائل في المصفوفات عربي
» نظرية سيسرون
» قرعة الالعاب الرياضيةالخليجية الاولى
» صور الالعاب النارية حول العالم 2011