الأعداد العقدية

إن مجموعة الأعداد
العُقدية omplex numbers هي توسيع لمجموعة
الأعداد الحقيقية، وفي إطارها أمكنت الإجابة عن أسئلة كثيرة تعذرت الإجابة عنها في
إطار الأعداد الحقيقية، مثل حل المعادلة س²+1=(0)

يعرف العدد العقدي
(المركب) على أنه تركيب ب+ ت حـ، وذلك بفرض أن ب،حـ حقيقيان وأن ت عدد تخيلي يحقق
ت²= -1.

لمحة تاريخية

ظهرت الأعداد العقدية
قبل أن يكتمل وضوح الأعداد السالبة والأعداد غير المنطقة (الصماء)، وكان ذلك عندما
حاول الجبريون الإيطاليون في عصر النهضة حل معادلات من الدرجة الثالثة. لقد لاحظ
كاردان (1501- 1576)
Cardan
أنه يمكن أن يكون من بين جذور المعادلة س³+مـ س=ن جذر تربيعي لعدد سالب، وتجرأ بومبيلي
Bombelli، وهو من رياضيي القرن السادس عشر، فأدخل
في حساباته المقدار بفرض أن ب عدد موجب، وسمي هذا
المقدار مقداراً مستحيلاً، كما قدم بومبيلي تقريبات للعمليات الحسابية الأساسية
الأربع مستخدماً المقدار المستحيل (بعبارات تكاد تكون حديثة). وقبل ألبرت جيرار
(1595- 1632) Girard الجذور العقدية للمعادلات، وكان أول من أكد أن
ن جذر للمعادلة من الدرجة ن، شرط إدخال الجذور المستحيلة ضمن هذا العدد. ولقد رفض
ديكارت[ر] في هندسته تعبير الأعداد المستحيلة واستخدم بدلاً منه تعبير الجذور
التخيلية.

تعامل رياضيو القرن
السابع عشر مع الأعداد العقدية واستخدموها بثقة كبيرة قبل أن يتأكد الوجود الرياضي
للأعداد العقدية، كما أنهم لم يترددوا في استخدام لغرتمات الأعداد التخيلية.

وفي منتصف القرن
الثامن عشر برهن دالمبير[ر] على إمكان كتابة كل عدد عقدي على النحو ب + ت حـ بفرض
أن ب، حـ عددان حقيقيان، كما عمم رياضيو هذا القرن عمليات الأعداد الحقيقية على
الأعداد العقدية، ويعود الفضل إلى وسِّل Wessel (عام 1797)، وأرغاند (1768- 1822) Argand في تمثيل الأعداد العقدية بمتجهات مستوية، غير
أن غوس (1798- 1831) Gauss
هو الذي وضح العلاقة بين الأعداد العقدية ونقاط المستوي، فكل عدد عقدي ص= ب + ت حـ
يقابَل بنقطة من المستوي المنسوب إلى نظام مقارنة ديكارتي قائم.

ولكن البناء الحدسي
لمجموعة الأعداد العقدية لم يرق للجبريين مثل هاملتون
(1805-
1865) Hamilton،
فحاولوا بناء هذه المجموعة منطقياً انطلاقاً من قاعدة، هي مجموعة الأعداد الحقيقية
(على الرغم من أنها لم تكن قد عرفت آنذاك على نحو دقيق). انطلقوا من تعريف الأعداد
العقدية على أنها ثنائيات مرتبة (أزواج) من الأعداد الحقيقية.

جمع الأعداد العقدية

يرمز لمجموعة الأعداد
العقدية بـ ق. وإذا كان ص، صَ عنصرين من هذه المجموعة، وكان ص= ب+ ت
حـ، صَ= بَ+ ت حـَ، فإن حاصل جمع (مجموع) هذين العددين هو عدد عقدي يعرّف بـ:

ص+ صَ= (ب+ بَ) +
ت(حـ+ حـَ)

يمكن استناداً إلى
هذا التعريف وإلى خصائص عملية الجمع في حقل الأعداد الحقيقية ح
إثبات أن عملية جمع الأعداد العقدية تبادلية وتجميعية، وأن العنصر 0= 0+ 0ت هو
عنصر حيادي فيها وأن لكل عنصر ب + ت حـ من ق نظيراً هو -ب -بَ
حـ. وبهذا يكون لمجموعة الأعداد العقدية المزودة بعملية الجمع هذه بنية زمرة
تبادلية (آبلية).

ضرب الأعداد العقدية

إذا كان ص = ب + ت
حـ، صَ = بَ + ت حـَ عددين عقديين، فإن جداء هذين العددين هو، بالتعريف، العدد
العقدي:

ب بَ - حـ حـَ+
ت(ب حـَ + حـ بَ). يرمز لهذا الجداء بـ ص صَ. ويلاحظ أن عملية الضرب هذه لاتختلف
عن ضرب أي ثنائي حدين (حدانية) بآخر مع ملاحظة أن ت²= -1: (ب + ت حـ).
(بَ + ت حـَ)

= ب بَ + ت ب حـَ + ت
حـ بَ + ت² حـ حـَ

= ب بَ - حـ حـَ +
ت(ب حـَ + حـ بَ).

وتتصف عملية الضرب
هذه بأنها تبادلية أي أن ص صَ= صَ ص وتجمعية أي إن ص(صَ صً) = (ص صَ) صً،
وأن العدد 1= 1+ت هو عنصر حيادي فيها أي إن ص.1=1.ص = ص، ثم إن لكل عنصر ص = ب+ ت
حـ مختلف عن الصفر مقلوباً (نظيراً ضربياً) هو

وعلى هذا فإن
المجموعة ق-
{0}المزودة بعملية الضرب المذكورة هي زمرة ضربية تبادلية.

يضاف إلى ماذكر أن
عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع، أي إن ص(صَ+صً) =ص صَ+ص صً مهما كانت
الأعداد العقدية ص، صَ، صً. ولذلك يمكن القول إن لمجموعة الأعداد العقدية المزودة
بعمليتي الجمع والضرب المذكورتين بنية حقل تبادلي.

حقل الأعداد العقدية
ليس حقلاً مرتباً

يمكن تعريف علاقة
ترتيب على ق كالعلاقة المسماة الترتيب المعجميlexicographic order التي يمكن تعريفها على النحو التالي:

إذا كان ص= ب +
ت حـ، صَ = بَ + ت حـَ فإن ص < صَ إذا كان ب < بَ أو كان ب= بَ، حـ <
حـَ. ويمكن بسهولة التحقق من انعكاسية هذه العلاقة وتعديها وتناظرها التخالفي، فهي
علاقة ترتيب.

ومع أنه يمكن تعريف
علاقة ترتيب على ق، فإنه لا يمكن لـ ق أن يكون حقلاً
مرتباً، لأنه يجب أن يكون مربع أي عنصر من عناصر حقل مرتب عنصراً موجباً، ومجموع أي
عنصرين موجبين موجباً. ولكن

(1+0ت)²=1،(0+ت)²=-1

في حين يجب أن
يكون أحد العددين 1 و-1 موجباً والآخر سالباً.

ق
تغمر ح

إن مجموعة الأعداد
العقدية ب+.ت هي مجموعة جزئية من ق، فإذا رمز لهذه المجموعة الجزئية
بـ ح*، فإن ح* متماكلة (متماثلة الشكل) isomorphic مع مجموعة الأعداد الحقيقية ح، لأن التطبيق تا:

ح*

!
ح
المعرف بـ: تا(ب +0ت)= ب، غامر ومتباين، كما أنه يحافظ على عمليتي الجمع والضرب.

وحيث أن ح
متماكلة مع جزء من ق هو ح* فإنه يمكن القول إن

ق تغمر ح.

التمثيل الهندسي
للأعداد العقدية:

يمكن مقابلة كل عدد
عقدي ص = ب + ت حـ بنقطة واحدة (ب، حـ) في المستوي المنسوب إلى مجموعة محورين
متعامدين، ويسمى محور السينات المحور الحقيقي ومحور العينات المحور التخيلي، ويسمى
ب الجزء الحقيقي للعدد العقدي ص ويسمى حـ الجزء التخيلي. أما المستوي نفسه فيسمى
مستوي غوس الشكل (1).

الشكل (1)

يمثل العدد العقدي 1
والذي هو 1 + 0ت بالنقطة على المحور الحقيقي الموجب التي فصلها يساوي الواحد،
ويمثل العدد العقدي ت والذي يكتب 0+ 1ت بالنقطة على المحور التخيلي الموجب التي
فصلها يساوي الواحد.

يعرف طول العدد
العقدي ص والذي يرمز له بـ│ص│على
أنه طول القطعة المستقيمة م ن، بفرض أن ن النقطة التي تمثل ص،

وتعرف زاوية العدد
العقدي ص على أنها الزاوية يه في الشكل (1) أي زاوية ص= يه

ويكون:

وعلى هذا فإن:

ص = ب + ت جـ = |ص|
[تجب يه + ت جب يه]

وهذا مايسمى التمثيل
المثلثي للعدد العقدي.

يكون العددان
العقديان ص، صَ متساويان إذا كان لهما الصورة ذاتها في مستوي غوس، وهذا يعني أن
يكون الجزآن الحقيقيان متساويين والجزآن التخيليان متساويين. أما إذا أعطي ص، صَ
بالتمثيل المثلثي فإنهما يكونان متساويين إذا كان لهما الطول ذاته والزاوية ذاتها،
أو إذا اختلفت زاويتاهما بعدد صحيح من 2π.

وإذا كان النقطتان ن،
نَ ممثلتين لعددين عقديين ص، صَ فإن العدد العقدي ص + صَ يتمثل بالنقطة نً التي هي
رأس متوازي الأضلاع المنشأ على م ن، م نَ، الشكل (2). وللحصول على جداء العددين ص،
صَ ليكن:

ص = ل
[تجب يه + ت جب يه]

صَ =
لَ [تجب يهَ+ ت جب يهَ]


اشكل (2)	اشكل (3)	اشكل (4)

فيكون:

ص صَ
= ل[تجب يه + ت جب يه] . لَ [تجب يهَ +ت جب يهَ] = ل لَ [تجب (يه +يهَ) + ت جب (يه
+يهَ)]

فجداء عددين عقديين
ص، صَ عدد عقدي ص ً طوله يساوي جداء طول ص بطول صَ وزاويته مجموع زاويتيهما. وعلى
هذا فإنه يمكن الحصول على النقطة نَ الممثلة للجداء ص صَ بإجراء تحاك على ن مركزه
م ونسبته│صَ│يتبعه
دوران مركزه م وزاويته يهَ (الشكل 3).

ويلاحظ أن:

|ص₁.
ص₂.
.... . ص_ن|
= |ص₁|
|ص₂|
.... |ص_ن|

زاوية ص₁ . ص₂ .... . ص_ن = زاوية ص₁ +زاوية ص₂ +... + زاوية ص_ن

وبوجه خاص فإن:

ص²
= (ل [تجب يه + ت جب يه])² = ل² [تجب ن يه +ت جب ن يه]

وبوجه عام فإن:

ص^ن
= (ل [تجب يه + ت جب يه])^ن = ل^ن [تجب 2يه +ت جب 2يه]

وإذا كان ل = 1 فإنه
ينتج:

[تجب
يه + ت جب يه]^ن = [تجب ن يه+ ت جب ن يه]

وهذه هي صيغة دوموافر
De Moivre. وأما مقلوب العدد
ص=ل[تجب
يه + ت جب يه]
¹
0 فهو:

فهو عدد عقدي طوله
1/ل (مقلوب
طول ص) وزاويته - يه. وإذا كانت النقطة نَ الممثلة للعدد العقدي ص، فإنه يمكن
الحصول على النقطة نَ الممثلة لـ

1/ص بانعكاس حول دائرة الوحدة يليه تناظر
حول المحور الحقيقي (الشكل 4) وحيث أن حاصل قسمة ص₁ على ص₂
هو جداء ص₁ بمقلوب ص₂، فإن طول حاصل قسمة عددين عقديين هو
حاصل قسمة طول المقسوم على طول المقسوم عليه، وزاويته هي زاوية المقسوم مطروحاً
منها زاوية المقسوم عليه.

الجذر النوني لعدد
عقدي ص:

إن الجذر النوني لعدد
عقدي ص هو عدد عقدي ف يحقق ف^ن=ص، فإذا كان

ص
= ل [تجب يه + ت جب يه]، ف = لَ [تجب يهَ+ ت جب يهَ]

فإن:

لَ
^ن [تجب ن يهَ + ت جب ن يهَ] = ل [تجب يه+ ت جب يه]

ومنه:

لَ ^ن = ل ، ن يهَ =يه+ 2ك

p (ك عدد صحيح
كيفي)

إذن:

يوجد معادلة

فالجذور النونية هي:

ينتج من هذه الصيغة ن
جذراً مختلفاً توافق القيم 0، 1، 3، ...، ن-1 للعدد ك أي إن

يوجد معادلة

ك = 0، 1، 2، ...، ن-1

ويتضح من هذا أن هذه
الجذور تقع على رؤوس مضلع منتظم مرسوم في دائرة مركزها النقطة صفر ونصف قطرها .

يوجد معادلة

وفي حالة خاصة إذا
كان العدد العقدي ص هو الواحد يكون ل =1، يه =0 وتكون الجذور النونية للواحد هي:

وإذا رُمز للجذر
المقابل للقيمة ك بـ ف_ك كانت هذه الجذور ف₀، ف₁،
...، ف_ن-1. إن هذه الجذور تشكل زمرة ضربية دروية بمرتبة ن.

يقال عن أي جذر نوني
للواحد ف_ك هو أولي إذا تولدت منه جميع الجذور الأخرى وعلى هذا فإن ف₁
جذر أولى لأن

ف_ك =(ف₁)^ك مهما كانت ك. ويمكن إثبات أن ف_ك يكون جذراً أولياً إذا
كان ن وَ ك أوليين فيما بينهما، فإذا كان ن = 8 مثلاً فإن الجذور الأولية هي ف₁،
ف₂، ف₅، ف₇. تولد هذه الجذور الأربعة زمرة.
وبوجه خاص إن الجذور الثلاثية للواحد (والتي هي حلول المعادلة ص³-1=0
هي الأعداد 1، ى، ى2 بفرض أن

وإن الجذور الرباعية
للواحد هي 1،ت،ت²(=-1)،ت³(=-ت) حيث تقع صور هذه الجذور في المستوي على رؤوس مربع.

يمكن الحصول على
الجذرين التربيعيين للعدد العقدي المعطى بالشكل ص = ب + ت حـ على النحو التالي:

بفرض أن ف = د + ت هـ
فإن (د+ ت هـ)²= ب + ت حـ ومنه

د2+ هـ2=
ب 2 د هـ = حـ

وبحل هاتين
المعادلتين ينتج:

ومنه:

يوجد معادلة

شرط أن يتم اختيار
الإشارات بحيث تكون إشارة الجداء د هـ من إشارة حـ. وعلى هذا إذا كان أحد الجذرين
التربيعيين هو ف₁= د₁+ت هـ₁ فإن الجذر الآخر هو

ف₂ = -د₁-ت هـ₁ = ف₁

مرافق عدد عقدي:

إذا كان ص = ب + ت حـ
فإن العدد العقدي
ص =ب-ت حـ يسمى مرافق Conjugate ص. إن صورة

ص في مستوي غوس هي نظيرة صورة ص بالنسبة
للمحور الحقيقي. ويتضح أن
ص ص =|ص|² وأن:

بناء موضوعاتي لـ ق:

هناك عدة إمكانات
مختلفة لبناء الأعداد العقدية موضوعاتياً وفيما يلي اثنتان منها:

ـ يمكن تعريف العدد
العقدي على أنه زوج مرتب من الأعداد الحقيقية (ب. حـ). تعرّف على مجموعة الأعداد
العقدية هذه المساواة والجمع والضرب على النحو التالي: يقال عن عددين عقديين (ب،
حـ)، (بَ، حـَ) إنهما متساويان إذا وإذا فقط كان ب = بَ، حـ= حـَ وإن مجموع عددين
عقديين (ب، حـ) ، (بَ، حـَ) هو العدد العقدي (ب +بَ، حـ +حـَ) وجداؤهما هو (ب بَ -
حـ حـَ، ب حـَ + حـ بَ). يكون عندئذ ت= (0، 1)، ت2= (-1، 0)

ـ الأعداد العقدية هي
مصفوفات من الشكل:

تمثل هذه المصفوفات
في المستوي تمديداً دورانياً (تمديد ودوران).

فإذا رمز لمجموعة هذه
المصفوفات بـ م، فإن م مزودة بعمليتي جمع المصفوفات وضربها تشكل حقلاً تبادلياً
يرمز له فيما يلي بـ ق*.

إن المجموعة الجزئية
من م والمكونة من العناصر

والتي تمثل تمديداً، متماكلة مع الزمرة الضربية
للأعداد الحقيقية ب # 0، أي إن هناك تقابلاً بين

يحافظ
هذا التقابل على عمليتي الجمع والضرب. وإذا رمز للعنصر

والذي يمثل دوراناً مركزه
مبدأ الإحداثيات وزاويته
p/2 بـ ت وللعنصر

الذي يقابل العدد الحقيقي 1 بالرمز
و، فإن
ت² =-و وإن:

وإن لمجموعة المصفوفات

مع عمليتي جمع المصفوفات وضربها، بنية حقل جزئي من ق* فإذا رمزنا لهذا الحقل
الجزئي بـ ح* فإنه يتضح مما سبق أن ح* متماكلة مع ح.
وبتوسيع ح*← ح
ينتج ق*←
ق وبذا ينتج حقل موسع ق هو
ما
يسمى حقل الأعداد العقدية. وإذا كان ت هو المقابل لـ ت فعندئذ
يكون:

كذلك يمكن تعريف
الأعداد العقدية على أنها صفوف تطابق (توافق) congruence لحدوديات polynoms على ح
مقاس (1 + س²).

» الأعداد الطبيعية
» -الأعداد المُنْطَقَة