-الأعداد المُنْطَقَة

العدد المُنْطَق rational number (العادي أو الكسري) هو عدد من الشكل

ك/ل بفرض أن ك э ص، ل э ط^*( ص هي مجموعة الأعداد الصحيحة [ر]، ط^*
هي مجموعة الأعداد الطبيعية المختلفة عن الصفر).

الكسر،
الكسور المتكافئة:

1ـ يسمى كل زوج (ب، حـ) من
ص*× ص^* (ص^*
=-{\}) كسراً، ويسمى ب، حـ حدي الكسر، ب
البسط (الصورة)؛ حـ المقام (المخرج). ويكتب الكسر (ب، حـ) على الشكل
ب/حـ تعُرّف
على مجموعة الكسور علاقة ر بما يلي:

(ب،حـ)
ر (بَ، حـَ) ⇔
ب حـَ =بَ حـ

إن هذه العلاقة تتصف
بما يلي:

ـ انعكاسية: (ب،حـ) ر(ب،حـ) لأن ب حـ =ب حـ

ـ تناظرية: (ب،حـ) ر (بَ، حـَ) ⇐ (بَ، حـَ) ر (ب،حـ)

لأن
ب حـَ =بَ حـ ⇐ بَ حـ =ب حـَ

ـ متعدية: (ب،حـ) ر (بَ، حـَ)

و(بَ،حـَ) ر (بً، حـً) ⇐ (ب،حـ) ر (بَ، حـَ)

لأن
ب حـَ =بَ حـ، بَ حـً =بً حـَ ⇐ ب حـً =بً حـ

فهي إذن علاقة تكافؤ.
ويُعرّف العدد المنطق على أنه صف تكافؤ كسر معطى (ب،
حـ)، أي إنه مجموعة الكسور المكافئة للكسر (ب، حـ).

يرمز بـ مـ^*
(Q^*) لمجموعة الخارج لـ ص^*×
ص^*
على ر أي لمجموعة المنطقات (الأعداد المنطقة) غير الصفر.

2 ـ الكسر غير الخزول
(غير قابل للاختزال): يقبل كل صف عنصراً مميزاً (قانونياً) حداه، بالقيمة المطلقة،
أوليان فيما بينهما، إن هذا الممثل، بغض النظر عن الإشارة، هو وحيد ويسمى كسراً
غير خزول. الكسر (5، -3) غير خزول، وأما الكسر (-9، 3) فهو خزول.

وإذا كان
ب/حـ كسراً،
فمن الممكن الحصول على الكسر غير الخزول
a/b الذي يكافئه بتقسيم
ب، حـ على القاسم المشترك الأكبر لهما. ونحصل على جميع الكسور المكافئة لـ
ب/حـ بضرب
بسط
a/b ومقامة بعدد صحيح واحد، أي:

(بَ، حـَ) ر
(ب،حـ) ⇔$
ك э
ص: بَ =ك a
، حـَ = ك b

ضرب الأعداد المنطقة
غير الصفر

إذا كان (ب، حـ)، (بَ،حـَ) زوجين من ص^*×
ص^*
بهذا الترتيب، فإن جداء هذين الزوجين هو بالتعريف الزوج (ب بَ، حـ حـَ)، ويرمز
لذلك بـ (ب، حـ). (بَ،حـَ)= (ب بَ، حـ حـَ).

وإذا كان (ب،حـ) ر (ب₁، حـ₁)،
(بَ،حـَ) ر (بَ₁، حـَ₁)

أي إذا كان ب حـ₁
=ب₁ حـ، بَ حـَ₁ =بَ₁ حـ فإن

(ب، حـ) . (بَ،حـَ) =(ب بَ، حـ حـَ)

(ب₁، حـ₁) . (بَ₁،حـَ₁)
=(ب₁ بَ₁، حـ₁ حـَ₁)

ولما كان ب بَ حـ₁
حـَ₁ = ب₁ بَ₁، حـ حـَ فإن

(ب بَ، حـ حـَ) ر
(ب₁ بَ₁، حـ₁ حـَ₁)

ينتج من ذلك أن جداء
أي عدد منطق غير الصفر بعدد منطق آخر غير الصفر هو كذلك عدد منطق، وأنه للوصول إلى
هذا الجداء يكفي أن يؤخذ أي زوجين ممثلين لهذين العددين وإجراء الضرب وفق التعريف.

خصائص
الضرب في مـ^*: إن عملية الضرب في مـ^*:

ـ ذات عنصر محايد وهو
الكسر
ب/ب، والذي يكافئ الكسر
1/1 وذلك
لأن

ثم إن لكل عنصر ب/حـ من مـ^* مقلوباً هو

ينتج عن ذلك أن مـ^*
زمرة تبادلية: وينتج عن هذه الخواص أيضاً مايلي:

ـ إن كل عنصر من مـ^*
منتظمٌ: ∀ س،ع э مـ^* فإن س ص =ع ص ⇐ ع= ص.

∀
ب، حـ э مـ^* فإنه يوجد عنصر
وحيد س من مـ^* بحيث يكون ب س =حـ.

ـ يوجد تماكل
(تماثل في الشكل، تشاكل تقابلي isomorphisme) بين (ص^*،
×) وجزء من (مـ^*، ×) يقابل كل عنصر هـ من ص^*
بالمُنْطق

هـ/1.

يُعرّف بذلك تقابلٌ ت
لـ ص^*
في مـ^*₁، مجموعة المنطقات غير الصفر والتي مقاماتها
1، يحقق مايلي:

"
(هـ، ط) من ص*×ص*
فإن

من فإن:

ولذا فإن ت هو تماكل
بين (مـ^*₁،×) و(ص^*،×)
ولذلك فإن من الملائم أن يُطابق بين (مـ^*₁،×) وبين (ص^*،×) أي أن يُطابق كل كسر

هـ/1 بالعدد
الصحيح هـ.

ـ توجد زمرة جزئية
ضربية من (مـ^*₁،×).

يقال عن كل منطق يمثل
بـ
ب/حـ
إنه موجب تماماً إذا كان ب حـ>0 إن المجموعة مـ^*₊،
مجموعة المنطقات الموجبة، هي زمرة جزئية ضربية من مـ^*.

جمع الأعداد المنطقة

حاصل
جمع زوجين من المنطقات

(ب، حـ)، (بَ، حـَ)
بهذا الترتيب هو، بالتعريف، الزوج = (ب حـَ +حـ بَ، حـ
حـَ)، أي:

(ب، حـ) + (بَ، حـَ)
= (ب حـ َ+حـ بَ، حـ حـَ)

فمثلاً (4 ، 5) + (3، 7)= (43، 35).

وإذا كان (ب،حـ) ر (ب₁، حـ₁)،
(بَ،حـَ) ر (بَ₁، حـَ₁)

فإن
(ب، حـ) + (بَ، حـَ) = (ب حـ َ+حـ بَ، حـ حـَ)

(ب₁،
حـ₁) + (بَ₁،حـَ₁) =(ب₁
حـَ₁+ حـ₁ بَ₁، حـ₁ حـَ₁)

ولما كان ب حـ₁
=ب₁ حـ، بَ حـَ₁ =بَ₁ حـَ

فإن
(ب حـَ+ حـ بَ) حـ₁ حـَ₁ = (ب₁ حـَ₁
+حـ₁ بَ₁) حـ حـَ

ومن ثم فإنَّ (ب حـَ+ حـ بَ، حـ حـَ) ر
(ب₁ حـَ₁ +حـ₁ بَ₁، حـ حـَ)

ينتج
عن ذلك أن حاصل جمع أي عددين منطقين هو عدد منطق، وأنه للوصول إلى حاصل جمع أيّ
عددين منطقين يكفي اختيار أيّ زوجين ممثلين لهذين العددين وإجراء الجمع وفق
التعريف.

خواص
الجمع في مـ: إن عملية الجمع في مـ هي:

ـ تبادلية ∀
س،ع эمـ
فإن س + ع = ع + س.

ـ تجميعية:∀
س، ع، صэ مـ فإن س+ (ع + ص) = (س + ع) + ص

ـ ذات عنصر محايد،
وهو الصفر\ ، أي س+
\=
\+س، ∀سэ مـ

ـ لكل عنصر
ب/حـ من
مـ نظير هو -_{ب/حـ ،} أي إن

ينتج من ذلك أن (مـ،+) زمرة تبادلية.

إن العملية × توزيعية
بالنسبة للعملية +.

وعلى هذا فإن
لـ مـبنية حقل تبادلي، والحقل (مـ،+،×)
هو حقل المنطقات.

إن مـ مرتب كلياً بالعلاقة ≤
المعرفة على النحو:

س ≤ع
⇔
ع-س э مـ₊

(مـ₊
هي مجموعة المنطقات غير السالبة).

إن هذه العلاقة
انعكاسية ومتعدية ومتخالفة التناظر فهي علاقة ترتيب.
ولما كان أيُّ منطَقَين قرونين (قابلين للمقارنة)، بهذه العلاقة، فهي علاقة ترتيب
كلي:

إضافة
إلى ذلك إن هذه العلاقة متوائمة مع الجمع في مـ، أي:

∀سэ مـ فإن ع ≤
ص ⇐ س +ع ≤
س+ ص

ومن ثم فإن (مـ، +، ≤)
زمرة مرتبة.

وأخيراً
فإنه إذا كان سэ مـ₊^* وع ≤
ص فإن س ع≤
س
ص

وإذا كان سэ - مـ₊^* وع ≤
ص فإن س ع ≥ س
ص

إذن (مـ ، +، ×، ≤) حقل
مرتب كلياً.

القيمة المطلقة لعدد
منطق

تعرف
القيمة المطلقة لعدد منطق بالشكل: إذا كان سэ مـ⁺ فإن |س| =س

وإذا كان سэ -مـ⁺ فإن |س| =-س حيث نرمز|س|
للقيمة المطلقة لـ س، ويكون:

∀س،عэ -مـ فإن
|س ع|=|س| |ع|

ويكون:
|س + ع|
³
|س|+ |ع| (متراجحة المثلث).

إن مجموعة الأعداد
المنطقة أرخميدية: ∀سэ مـ^*
و∀عэ مـ، فهناك عنصر
ن من ط بحيث يكون ن
|س| > ع.

إن مجموعة المنطقات
عدودة (قابلة للعد).

أي هناك تقــابل بين
هذه المجموعة ومجموعة الأعداد الطبيعية ط. وفي الواقع يمكن ترتيب مجمــوعة الكسور
غير الخزولة
ك/ل، فيوضــع

ك/ل<كَ/لَ إذا كان
|ك| +ل<|كَ| +لَ أو إذا كان:

|ك|+ ل =|كَ| +لَ و ك< كَ

وتكتب هذه المجموعة
على شكل متتالية من الأجزاء المنتهية المنفصلة:

-	1	، -	1	، -	2	، -	1	،	1	،	2	، -	3	، -	1	،	1	،	3	، -	4	، -	3	، ...
	1		1		1		2		2		1		1		3		3		1		1		2

تعريف
آخر لحقل الأعداد المنطقة

حقل الأعداد المنطقة
هو ذلك الحقل الأصغري مـ الحاوي لحلقة الأعداد الصحيحة ص أي إن مـ
تحقق مايلي:

ـ مـ مجموعة تحوي ص.

ـ مـ حقل.

ـ لايختلف الجمع
والضرب في ص
عنهما في مـ.

ـ الحقل مـ
لايحوي حقلاً جزئياً، مختلفاً عنه، يحوي ص.

واستناداً إلى هذا
التعريف يمكن إثبات ما يلي:

ـ يلزم
ويكفي لحقل يحوي ص، كي يكون الحقل مـ هو أن يكون كل
عنصر من مـ حاصل قسمة عددين صحيحين. إن هذا الحقل أصغري.

ـ جميع الحقول
الأصغرية الحاوية لـ ص متماكلة.

ـ أي حقل ل يحوي ص حتماً يحوي مـ.

وإذا عُرّف تكافؤ
عددين منطقين وجمعهما وضربهما بمايلي:

التكافؤ:
(أ، ب) ر (حـ، د) ⇔
أ د = ب حـ

الجمع:
(أ، ب) + (حـ، د) = (أ د + ب حـ، ب د).

الضرب: (أ، ب) . (حـ، د) = (أ حـ، ب د).

فإنه يمكن إثبات
مايلي:

ـ الجمع والضرب
تبادليان وتجميعيان، كما أن الجمع توزيعي على الضرب.

» الأعداد الطبيعية
» الأعداد العقدية